上?？萍即髮W(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)研究所岳海天教授與合作者最近的兩項(xiàng)研究成果分別發(fā)表于《數(shù)學(xué)年鑒》(Annals of Mathematics) 和《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》(Inventiones Mathematicae)，相繼徹底解決了色散方程領(lǐng)域懸而未決近三十年的兩個(gè)難題：二維高階非線性薛定諤方程和三維三階非線性波方程下的吉布斯測(cè)度不變性問(wèn)題。

　　色散偏微分方程是偏微分方程領(lǐng)域中最受關(guān)注的研究方向之一。上世紀(jì)80 年代末和 90 年代初菲爾茲獎(jiǎng)獲得者J. Bourgain、美國(guó)科學(xué)院院士 J. L. Lebowitz 及其合作者們開(kāi)啟了用概率方法研究非線性薛定諤方程的統(tǒng)計(jì)力學(xué)性質(zhì)的先河。由于其豐富的物理和數(shù)學(xué)內(nèi)涵，非線性薛定諤和波方程下的不變吉布斯測(cè)度 (invariant Gibbs measure) 的研究成為了色散方程領(lǐng)域最前沿?zé)狳c(diǎn)一個(gè)方向。繼90年代J. Bourgain 解決了一維和二維的三階非線性薛定諤方程以及二維高階非線性波方程的吉布斯測(cè)度的不變性問(wèn)題以后，二維高階非線性薛定諤方程和三維三階非線性波方程下的吉布斯測(cè)度的不變性問(wèn)題便成為了領(lǐng)域最亟待解決的兩大難題。

　　2019 年，岳海天及其合作者芝加哥大學(xué)鄧煜 、馬薩諸塞大學(xué)阿默斯特分校Andrea R. Nahmod開(kāi)創(chuàng)性地提出了隨機(jī)平均算子方法 (見(jiàn)圖 1)，從而徹底地解決了上述第一個(gè)難題。歷經(jīng)五年的審稿，該成果刊登于今年8月30日出版的《數(shù)學(xué)年鑒》。文中還開(kāi)創(chuàng)性地提出了適定性理論的概率臨界猜想，其中概率臨界的概念成功地從直覺(jué)性?度引領(lǐng)了后續(xù)研究。這一猜想的提出是自1996 年J. Bourgain的工作以來(lái)該領(lǐng)域最重要的進(jìn)展之一，它大力地推進(jìn)了人們對(duì)隨機(jī)初值在非線性色散方程下演化結(jié)構(gòu)的理解。

圖1

　　隨后，上述三位作者與合作者普林斯頓大學(xué) B. Bringmann解決了前述第二個(gè)難題，即三維三階非線性波方程的吉布斯測(cè)度的不變性問(wèn)題，成果發(fā)表在今年4月29日出版的《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》上。前述概率臨界猜想為解決該難題提供了深刻的洞見(jiàn)。在這篇長(zhǎng)達(dá) 279 頁(yè)的論文中，岳海天與合作者創(chuàng)造性地運(yùn)用了概率論、調(diào)和分析、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、偏微分方程等數(shù)學(xué)分支中的隨機(jī)量子化、擬控制理論、格點(diǎn)計(jì)數(shù)估計(jì)、隨機(jī)張量理論、分子圖分析等多種復(fù)雜技術(shù)工具從而證明了在吉布斯概率初值下三維三階波方程會(huì)按照既定結(jié)構(gòu)演化 (見(jiàn)圖2 )。

圖2

　　值得一提的是，岳海天及合作者在本次發(fā)表于《數(shù)學(xué)年鑒》上的論文基礎(chǔ)上發(fā)展出了隨機(jī)張量理論，從而完整地解決了薛定諤方程概率次臨界適定性問(wèn)題。該問(wèn)題也是近三十年來(lái)備受關(guān)注的難題之一，相關(guān)成果已于2021年11月發(fā)表在《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》。

　　《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》和《數(shù)學(xué)年鑒》均位列學(xué)界公認(rèn)的“四大純數(shù)學(xué)期刊”。前者創(chuàng)刊于1961年，致力于發(fā)表純數(shù)學(xué)各領(lǐng)域的新突破，這是岳海天第二次在該期刊上發(fā)表論文。后者創(chuàng)辦于 1884 年，由普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系與普林斯頓高等研究院合作出版，每年僅接受約 30 篇文章，在其上發(fā)文之難不言而喻。岳海天表示：“我很幸運(yùn)能和兩位出色的數(shù)學(xué)家合作，發(fā)揮各自所長(zhǎng)，我們的文章能夠出現(xiàn)在《年鑒》上是莫大的榮幸，也是夢(mèng)想成真。”

　　岳海天于2021年加入上?？萍即髮W(xué)，目前是數(shù)學(xué)所助理教授?！昂Ｌ烊绱四贻p就有這樣的成就，我和上科大數(shù)學(xué)所為他感到非常自豪!”創(chuàng)始所長(zhǎng)陳秀雄難掩興奮。“海天和他的合作者們?cè)谶@一系列文章中創(chuàng)建的新理論，引進(jìn)的新方法和提出的新猜想必將深刻的影響色散方程和相關(guān)領(lǐng)域的研究?！?/p>

　　文章鏈接：

　　https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-024-01254-4

　　https://annals.math.princeton.edu/2024/200-2/p01